Echecs… et maths


Voici un petit topo sur l’origine des Echecs, suivi de la très instructive Légende du brahmane Sissa

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Origine : Ancêtre lointain des échecs, le chaturanga est un jeu de guerre indien, inventé entre les Ve et VIe siècles pour l’entraînement des généraux à la stratégie.Le mot chaturanga est formé des deux racines sanskrites – chatur, « quatre », et anga, « membre » – il signifie littéralement « ayant quatre membres » ou « quadripartite ». Ce nom désigne les armées typiques de l’Inde ancienne, composées de « quatre corps » ou divisions distinctes, que l’on retrouve dans le jeu : chars de combat, cavalerie, corps des éléphants et infanterie, sous les ordres d’un Rajah.

De la table rituelle à la table de jeu

Les pièces prennent place sur une table rituelle de 8 x 8 cases, le 8 étant en Asie le chiffre parfait de l’accomplissement et du recommencement. Cette table de 64 cases symbolise l’ordre cosmique – le Vastu Purusha mandala, résidence sacrée des dieux du Panthéon hindou, les quatre cases centrales correspondant au dieu créateur Brahma. Ce diagramme est d’ailleurs utilisé pour dessiner les plans des temples et des cités. Vers 600 av. J.C les Perses voisins des indiens détournent le diagramme de son usage rituel et en font un jeu profane, rebaptisée Ashatapada, littéralement « huit carrés ». Tel est le nom de l’échiquier primitif, considéré comme un champ de bataille stylisé.

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Le jeu se pratique alors avec deux dés et laisse au hasard du tirage le choix des pièces à déplacer. Peu à peu, les dés sont supprimés, la réflexion remplace le hasard. et les joueurs sont réduits à deux. Le combat devient un duel stratégique. C’est ainsi que le jeu migre lentement de l’Asie vers l’occident, en subissant des transformations selon les cultures.

ech4Le Shogi est l’équivalent Japonais du jeu d’échecs. Plus complexe, il a pour origine directe le chaturanga, jeu d’échecs Indien datant du VIème siècle Pour la petite histoire Akara est un mot Boudhiste signifiant 10 à la puissance 224, soit le nombre de parties possibles au Shogi. Par comparaison, le jeu d’échecs occidental n’a “que” 10 puissance 123 combinaisons possibles. Le jeu chinois est le Xiang-Qi.

Arrivée au Moyen-orient

Les croisades d’un côté, l’invasion maure en Espagne de l’autre, ramènent le jeu en Europe.ech6 D’abord pratiqué par les rois et les nobles, on l’appelle le « Jeu royal ». Toiles de Dirk Van Delf «Famille Royale jouant aux échecs » (1410) et James Hamilton “A Game of Chess “ (1852)

ech7 Il fut aussi appelé « le jeu des amoureux” car il servit souvent de prétexte aux amoureux pour se rencontrer, dans une société où il était mal vu que les hommes et les femmes se fréquentent.

Les automates

L’histoire des machines jouant aux échecs commença par une supercherie : vers 1770, le baron Wolfgang von Kempelen (ingénieur autrichien) présenta en Europe un automate joueur d’échecs qui fut surnommé le Turc, car il se présentait sous l’aspect d’une marionnette enturbannée et moustachue, qui aurait été actionné par un mécanisme complexe, situé dans un coffre sous l’échiquier.

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Le Turc jouait bien et mit un jour Napoléon en fureur le battant en 19 coups. A la mort de Kempelen en 1804, le Turc fut racheté par le musicien bavarois Johann Maelzel qui continua de l’exploiter par de nombreuses exhibitions, notamment en Amérique.

Edgar Poe, attiré par le phénomène, fut surpris d’une défaite du Turc et annonça alors qu’il ne s’agissait pas d’un ordinateur puisque ce dernier est imbattable. Poe avait découvert la supercherie mais pour une mauvaise raison car un ordinateur est battable. La supercherie consistait en réalité à dissimuler sous l’échiquier un joueur doué qui, par un jeu de miroir, observait les pièces et pouvait contrôler les mouvements de l’automate. Ainsi, une dizaine de joueurs ce sont remplacés au service du Turc. Maelzel mourut en 1838 et le Turc fut dévoilé par un de ses opérateurs, sa place était désormais dans un musée (Philadelphie) ou il disparut dans un incendie en 1854.

Le mathématicien britannique Alan Turing fut l’un des premiers à étudier l’informatisation du jeu d’échecs, mais le travail le plus profond fut celui de Claude Shannon : il utilisa la théorie des jeux de John von Neumann et d’Oskar Morgenstern afin de déterminer, par la méthode du « minimax », le meilleur coup possible. Les premiers programmes de jeux d’échecs, établis vers 1958, étaient encore rudimentaires. Progressivement de plus en plus nombreux, les auteurs de programmes d’échecs se divisèrent en deux camps de philosophies distinctes : les « stratèges » et les « mécaniciens ».

Les stratèges considéraient que les ordinateurs devaient jouer comme l’Homme, à l’aide de raisonnements explicites décidant des coups. Les mécaniciens avaient un point de vue moins restrictif, admettant que des opérations correctement effectuées par l’Homme pouvaient ne pas être adaptées aux caractéristiques des ordinateurs et que ceux-ci devaient utiliser leurs propres avantages, c’est à dire leurs facilités de calcul.

Dans les années 1970, les mécaniciens s’imposèrent puis les programmeurs utilisèrent des ordinateurs de plus en plus rapides pour accélérer les calculs. Vers le début des années 1980 apparurent des ordinateurs spécifiques, construits pour jouer aux échecs et en octobre 1989, un prototype à six microprocesseurs joua deux parties en public contre Kasparov, à New York. L’ordinateur analysait plus de 2 millions de positions par seconde, mais Kasparov le battit nettement. Les concepteurs améliorèrent leur ordinateur et on connaît tous la victoire du fameux « Deep Blue » sur Kasparov en 1997.

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J’arrête là sur ce sujet car, à mon avis, l’introduction des ordinateurs en compétition ne présente aucun intérêt et ils devraient être réservés à l’entraînement.


La légende du brahmane Sissa ou Echec et Mat pour le Roi

La légende la plus célèbre sur l’origine du jeu d’échecs raconte l’histoire du roi Belkib des Indes, 3000 ans avant notre ère, qui cherchait à tout prix à tromper son ennui. Il promit une récompense exceptionnelle à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait. Lorsque le bramhane Sissa lui présenta le jeu d’échecs, le souverain, enthousiaste, demanda au sage ce que celui-ci souhaitait en échange de ce cadeau extraordinaire.

« Vous voulez me récompenser pour ce jeu d’échecs que j’ai créé et qui a réussi à dissiper votre ennui ? Rien de plus simple. Je me contenterai d’un grain de blé sur la première case de l’échiquier, de deux sur la seconde, de quatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant de case en case la quantité précédente jusqu’à la soixante-quatrième et dernière case de l’échiquier. »

Le prince accorda immédiatement cette récompense en apparence modeste, mais son conseiller lui expliqua qu’il venait de signer la mort du royaume car les récoltes de l’année ne suffiraient à s’acquitter du prix du jeu.

En effet, sur la dernière case de l’échiquier, il faudrait déposer 263 plus de neuf milliards de milliards de grains (9 223 372 036 854 775 808 grains précisément), et y ajouter le total des grains déposés sur les cases précédentes, ce qui fait un total de 18 446 744 073 709 551 615 grains (la formule de calcul est alors 264-1) !

En utilisant les puissances : 18.109.109 = 18.1018 grains

1 grain, environ 40 milligrammes, ou 40.10-3 g
ou
40.10-3.10-3 = 40.10-6 = 4.10-5 kg

Masse totale
18.1018 4.10-5 = 7,2.1014 kg
ou
7,2.1014.10-3 = 7,2.1011 tonnes (720 milliards de tonnes)

NB : Dans une tonne il y a 109 milligrammes (mille kilogrammes et 1 million de grammes)

Nombre d’années nécessaires pour cette production en supposant que chaque année la production est celle de 2006 soit 620.106 tonnes :

7,2.1011 / 620.106 = 1 160 ans environ !!

FAITES L’ESSAI : vous disposez au départ de 32 sachets de 50g de blé contenant chacun 1275 grains.

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1 grain de blé, puis 2, puis 4, puis 8, puis 16. Soit 31 grains de blé délicatement saisis avec une pincette et posés sur l’échiquier. Puis 32, puis 64, puis 128 pour un total de 255 grains de blé utilisés sur toute cette première ligne

NB : un petit récipient est nécessaire pour contenir les grains de la 8ème case 2ème ligne : 256 grains, puis 512.

ECHEC pour la 11ème case de l’échiquier car il ne reste que 252 grains de blé alors que 1024 sont nécessaires.
Réfléchir, calculer et se sortir de ce mauvais pas…

1023 grains utilisés pour les 10 premières cases ( 1 + 2 + 4 + 8 +16 + 32 + 64 + 128 ) +256 + 512 = 255 + 256 + 512 = 1 023 ou en utilisant la formule 210 – 1 = 1 024 – 1 = 1 023 1 275 grains de blé dans le sachet de 50 g 1023 + 252 = 1275

80% du sachet ont déjà été utilisés soit 0,8 sachet 1023 / 1275 = 0,8 Retirer les 252 grains de blé de la 11ème case et les mettre de côté pour le moment.

Trouver d’autres sachets de blé et continuer en prenant le sachet comme unité. 0,8 sachet à déposer sur la 11ème case de l’échiquier 1024 / 1275 = 0,8 soit 80% ou quatre cinquièmes d’un sachet 0,8 sachet pour la 11ème case de l’échiquier, puis 1,6 puis 3,2 puis 6,4 puis 12,9 sachets 32 767 grains au total des 15 premières cases de l’échiquier 215 – 1 = 32 768 – 1 = 32 767 25,7 sachets utilisés pour ces 15 premières cases 32 767 / 1 275 = 25,7 ou 0,8 + 0,8 + 1,6 + 3,2 +6,4 +12,9 = 25,7

ECHEC pour la case 16 : même en rajoutant les 252 grains de blé inutilisés précédemment, il ne reste que 6,3 sachets sur les 32 qui étaient disponibles alors qu’il faudrait 32 768 grains ou encore 25,7 sachets pour cette case.
Réfléchir, calculer et se sortir de ce mauvais pas

Poids moyen d’un grain de blé : 4 centièmes de gramme 50 / 1275 = 0,0392157 Trouver une autre source de blé et continuer en prenant le gramme comme unité. Il faut 1285 grammes de blé pour la 16ème case 0,0392157 x 32768=1285,0201 ou 50 x 25,7 = 1285

NB : dans les calculs suivants la valeur 0,04g a été utilisée comme poids moyen d’un grain de blé.

A la 26ème case le roi devrait avoir donné 67 108 863 grains de blé soit 2 684 kilogrammes. A la 50ème case le roi devrait avoir donné 1 125 899 906 842 620 grains de blé soit 45 Mégatonnes ; 7,5 Mégatonnes (7 500 000 tonnes) de plus que la totalité des blés récoltés en France en 2010).

A la 53ème case, seulement 3 cases plus loin, le roi devrait avoir donné 9 007 199 254 740 990 grains de blé soit 360 Mégatonnes ; 49 Mégatonnes (49 000 000 tonnes) de plus que la totalité des blés récoltés dans le monde entier en 2010).

A la 64ème case, le roi devrait avoir donné 18 446 744 073 709 600 000 grains de blé soit 738 Gigatonnes (738 000 000 000 tonnes) ; l’équivalent de 2102 x les récoltes mondiales de l’année 2010.

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Moralité : quand une personne qui sait que vous avez les moyens de donner beaucoup vous demande très peu pour un grand service, ne vous réjouissez pas trop vite et réfléchissez ; il y a sans doute « anguille sous roche ».

CM

 

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3 réponses à Echecs… et maths

  1. Alain dit :

    Super intéressant, ça fait bouger les neurones ton truc !
    Al

  2. Michel dit :

    Tout juste bluffant, merci de ce bon moment de logique ;-)
    Michel Hernandez

  3. Cacao dit :

    Merci pour cet article passionnant, et j’ai adoré la légende du brahmane :-)
    Ciao
    CCN

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